Question

設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，且sinAsinC=

3

4

．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）設(shè)

m

=（cosA，cos2A），

n

=（-2，1），當(dāng)

m

•

n

取最小值時，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立a，b和c的關(guān)系式，利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，求得sinB的值，進(jìn)而求得B．
（Ⅱ）對向量積的表達(dá)式化簡整理，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)

m

•

n

取最小值時A，進(jìn)而判斷出三角形的形狀．

解答： （Ⅰ）∵a，b，c，成等比數(shù)列，
∴b²=ac．
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴sin²B=sinAsinC．
又∵sinAsinC=

3

4

．
∴sin²B=

3

4

．
∵sinB＞0，
∴sinB=

3

2

．
∴B=

π

3

或

2π

3

．
又∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大邊，故B=

π

3

．
（Ⅱ）∵

m

•

n

=-2cosA+cos2A=2cos2A-2cosA-1，
∴當(dāng)cosA=

1

2

時，

m

•

n

取得最小值．此時A=

π

3

，
∵B=

π

3

，
∴A=B=C=

π

3

故△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理的運(yùn)用．在解三角形問題中往往通過正弦定理和余弦定理把角和邊的問題互化，進(jìn)而找到解決問題的突破口．