Question

12．若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，a_n+1=（2+$\frac{2}{n}$）a_n，則a_n=n•2ⁿ．

Answer 1

分析 把已知的數(shù)列遞推式變形，然后利用累積法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：由a_n+1=（2+$\frac{2}{n}$）a_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2（n+1）}{n}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2×2}{1}$，
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2×3}{2}$，
$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{2×4}{3}$，
$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}=\frac{2×5}{4}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2n}{n-1}$（n≥2）．
累積得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}={n•2}^{n-1}$，
∵a₁=2，
∴${a}_{n}=n•{2}^{n}$（n≥2）．
驗(yàn)證n=1時(shí)上式成立．
∴${a}_{n}=n•{2}^{n}$．
故答案為：n•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．