Question

7．已知sinα+cosα∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，且滿足4sinαcosα-5sinα-5cosα=1，
（1）求sinα+cosα的值；
（2）求sin³α+cos³α的值．

Answer 1

分析 （1）令sinα+cosα=t換元，得到sinα•cosα，代入已知等式求得t，則sinα+cosα的值可求；
（2）展開(kāi)立方和公式，則sin³α+cos³α的值可求．

解答 解：（1）令sinα+cosα=t（$-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$），
兩邊平方得，1+2sinαcosα=t²，
∴4sinαcosα=2t²-2，
代入4sinαcosα-5sinα-5cosα=1，得
2t²-2-5t=1，即2t²-5t-3=0．
解得：t=3（舍），或t=-$\frac{1}{2}$，即sinα+cosα=$-\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得，sinαcosα=$\frac{1}{2}（{t}^{2}-1）$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{4}-1）=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{8}$．
∴sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）
=（sinα+cosα）[（sinα+cosα）²-3sinαcosα]
=$-\frac{1}{2}$×$[（-\frac{1}{2}）^{2}-3×（-\frac{3}{8}）]$=$-\frac{11}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，體現(xiàn)了方程思想和換元思想，是中檔題．