Question

4．已知直線l：（a²-a+1）x-（a²+a+1）y-a²+3a-1=0，a∈R
（1）求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求當(dāng)a=1和a=-1時(shí)對(duì)應(yīng)的兩條直線的夾角．

Answer 1

分析 （1）由直線系方程的逆用聯(lián)立方程組求解直線l過(guò)定點(diǎn)；
（2）a=1和a=-1時(shí)，直線的方程分別為x-3y+1=0，3x-y-5=0，利用夾角公式，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵l：（a²-a+1）x-（a²+a+1）y-a²+3a-1=0，
∴（x-y-1）a²+（-x-y+3）a+（x-y-1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{-x-y+3=0}\end{array}\right.$，∴x=2，y=1，
∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）；
（2）解：a=1和a=-1時(shí)，直線的方程分別為x-3y+1=0，3x-y-5=0，
∴tanθ=|$\frac{3-\frac{1}{3}}{1+3•\frac{1}{3}}$|=$\frac{4}{3}$，
∴$θ=arctan\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的一般方程，考查了直線系方程的逆用，考查兩條直線的夾角公式，是基礎(chǔ)題．