Question

在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

c

c-2b

=

cos(π+A)

sin( π 2 +C)

（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）求函數(shù)y=2cos²B+sin（

π

6

-2B）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知等式右邊利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinB不為0求出cosA的值，即可確定出角A的大�。�
（Ⅱ）函數(shù)y解析式第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的值域即可確定出y的值域．

解答： 解：（Ⅰ）已知等式變形得：

a

c-2b

=

cos(π+A)

sin( π 2 +C)

=

-cosA

cosC

，
整理得：（2b-c）cosA-acosC=0，
由正弦定理得：（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，即2sinBcosA-（sinCcosA+sinAcosC）=2sinBcosA-sinB=0，
∵sinB≠0，∴cosA=

1

2

，
則A=

π

3

；
（Ⅱ）y=2cos²B+sin（

π

6

-2B）=1+cos2B+

1

2

cos2B-

3

2

sin2B=

3

2

cos2B-

3

2

sin2B+1=

3

cos（2B+

π

6

）+1，
由A=

π

3

，B，C為銳角，得到0＜B＜

π

2

，且0＜C=

2π

3

-B＜

π

2

，
解得：

π

6

＜B＜

π

2

，即

π

2

＜2B+

π

6

＜

7π

6

，
∴-1≤cos（2B+

π

6

）＜0，
則1-

3

≤

3

cos（2B+

π

6

）+1＜1，即y∈[1-

3

，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及余弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．