Question

已知f（x）=2mcos2x-2

3

msinx•cosx+n(m＞0)的定義域為[0，

π

2

]，值域為[1，4]，求m+n的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，進而根據(jù)x的范圍表示出f（x）的最大和最小值，聯(lián)立方程求得m和n，最后求得m+n的值．

解答： 解：f（x）=2mcos²x-2

3

msinx•cosx+n
=m（1+cos2x-

3

sin2x）+n
=2m（

1

2

cos2x-

3

2

sin2x）+m+n，
=-2msin（2x-

π

6

）+m+n，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴f（x）_max=-2•m•（-

1

2

）+m+n=4①
f（x）_min=-2m+m+n=1②，
①②聯(lián)立求得n=4，m=3，
∴m+n=7

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合運用三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的能力和運算的能力．