Question

數(shù)列{a_n}滿足：na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=（

9

10

）^n-1+（

9

10

）^n-2+…+

9

10

+1（n=1，2，3…）
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求a_n的通項公式；
（3）若b_n=-（n+1）a_n，試問是否存在正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，都有b_n≤b_k成立？若存在求出k的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）令n=1，2，3即可求a₁，a₂，a₃的值；
（2）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系，即可求a_n的通項公式；
（3）求出b_n=-（n+1）a_n，討論b_n≤b_k，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=1，
當n=2時，2+a₂=

9

10

+1，則a₂=-

1

10

，
當n=3時，3a₁+2a₂+a₁=（

9

10

）²+

9

10

+1，
則a₃=-

9

100

．
（2）由na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=（

9

10

）^n-1+（

9

10

）^n-2+…+

9

10

+1，
得（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+2a_n-2+a_n-1=（

9

10

）^n-2+（

9

10

）^n-3+…+

9

10

+1，
兩式相減得a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=（

9

10

）^n-1=S_n．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-

1

10

•(

9

10

)n-2，
當n=1時，a₁=1不滿足a_n=-

1

10

•(

9

10

)n-2，
則a_n=

1，n=1 - 1 10 •( 9 10 )n-2，n≥2

．
（3）∵a_n=

1，n=1 - 1 10 •( 9 10 )n-2，n≥2

．
∴b_n=-（n+1）a_n=

-2，n=1 n+1 10 •( 9 10 )n-2，n≥2

，
假設(shè)存在正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，都有b_n≤b_k成立，
當n=1時，b₂-b₁=

23

10

＞0，則b₂＞b₁，
當n≥2時，b_n+1-b_n=(

9

10

)n-2•

8-n

100

，
當n＜8時，b_n+1＞b_n，
當n=8時，b_n+1=b_n，
當n＞8時，b_n+1＜b_n，
故存在正整數(shù)k=8或9，使得對于任意的正整數(shù)n，都有b_n≤b_k成立．

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，以及數(shù)列和不等式的綜合應用，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系，求a_n的通項公式是解決本題的關(guān)鍵．