Question

已知函數(shù)f（x）=1-x²，函數(shù)g（x）=2ax-3a+2（a＞0），若對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[

1

2

，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)a的值是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由任意的x₁∈[0，1]，都存在x₂∈[

1

2

，1]，使得f（x₁）=g（x₂），可得f（x）=1-x²在x₁∈[0，1]的值域為g（x）=2ax-3a+2在x₂∈[

1

2

，1]的值域的子集，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，可得結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)x₁∈[0，1]時，由f（x）=1-x²得，
f（x₁）∈[0，1]，
∵x₂∈[

1

2

，1]，又a＞0，
∴g（x₂）∈[2-2a，2-a]，
∵對任意的x₁∈[0，1]，都存在x₂∈[

1

2

，1]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴[0，1]⊆[2-2a，2-a]，
∴

2-2a≤0 2-a≥1

即

a≥1 a≤1

，
∴a=1，
故答案為：1．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)、一次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，其中根據(jù)已知條件分析出“f（x）=1-x²在x₁∈[0，1]的值域為g（x）=2ax-3a+2在x₂∈[

1

2

，1]的值域的子集”是解答的關(guān)鍵．