Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，nan+1=Sn+n(n+1) (n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）na_n+1=S_n+n（n+1）①⇒n≥2時(shí)，（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）②，兩式相減可得a_n+1-a_n=2（n≥2），再計(jì)算a₂-a₁=2，從而知數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，從而可得其通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法知b_n=

1

anan+1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），從而可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（1）∵na_n+1=S_n+n（n+1），①
∴n≥2時(shí)，（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），②
①-②得：na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n（n≥2），
即a_n+1-a_n=2（n≥2）．
在①中令n=1，有a₂=a₁+2，即a₂-a₁=2，
故對(duì)?n∈N^*，a_n+1-a_n=2．
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，a_n=2n，n∈N^*．
（2）∵b_n=

1

anan+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

n

4n+4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系的確定及其通項(xiàng)公式的應(yīng)用，突出裂項(xiàng)法求和的考查，屬于中檔題．