Question

a、b是不全為零的實(shí)數(shù)，求證3ax²+2bx-（a+b）=0在（0，1）至少有一個(gè)根．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)f（x）=ax³+bx²-（a+b）x，由f（0）=f（1）=0，且f（x）是連續(xù)函數(shù)，得到在區(qū)間（0，1）內(nèi)，f（x）存在極值，從而解決問(wèn)題．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=ax³+bx²-（a+b）x，
∵f（0）=f（1）=0，且f（x）是連續(xù)函數(shù)，
∴在區(qū)間（0，1）內(nèi)，f（x）存在極值，
∴總存在x=k∈（0，1），使得f′（k）=0，
又f′（x）=3ax²+2bx-（a+b），
∴f′（k）=3ak²+2bk-（a+b）=0，
即x=k是方程3ax²+2bx-（a+b）=0的一個(gè)根
∴方程3ax²+2bx-（a+b）=0在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．