Question

如圖，已知半圓的直徑|AB|=20，l為半圓外一直線，且與BA的延長線交于點T，|AT|=4，半圓上相異兩點M、N與直線l的距離|MP|、|NQ|滿足條件

|MP|

|MA|

=

|NQ|

|NA|

=1，則|AM|+|AN|的值為（　�。�

• A、22
• B、20
• C、18
• D、16

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合,拋物線的定義

專題：計算題,壓軸題

分析：先以AT的中點O為坐標(biāo)原點，AT的中垂線為y軸，可得半圓方程為（x-12）²+y²=100，根據(jù)條件得出M，N在以A為焦點，PT為準(zhǔn)線的拋物線上，聯(lián)立半圓方程和拋物線方程結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用拋物線的定義即可求得答案．

解答： 解：以AT的中點O為坐標(biāo)原點，AT的中垂線為y軸，
可得半圓方程為（x-12）²+y²=100
又

|MP|

|MA|

=

|NQ|

|NA|

=1，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
M，N在以A為焦點，PT為準(zhǔn)線的拋物線上；
以AT的垂直平分線為y軸，TA方向為x軸建立坐標(biāo)系，
則有
物線方程為y²=8x（y≥0），聯(lián)立半圓方程和拋物線方程，
消去y得：x²-16x+44=0
∴x₁+x₂=16，
|AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x₁+x₂+4=20．
故選：B．

點評：本小題主要考查拋物線的定義、圓的方程、圓與圓錐曲線的綜合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．