Question

12．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，$f（x）=\frac{1}{2}（|{x-{a^2}}|-3{a^2}）$，若?x∈R，f（x-1）≤f（x），則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． $[-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{4}]$
• B． $[-\frac{1}{4}，\frac{1}{4}]$
• C． $[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• D． $[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 把x≥0時的f（x）改寫成分段函數(shù)，求出其最小值，由函數(shù)的奇偶性可得x＜0時的函數(shù)的最大值，由對?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），可得4a²-（-4a²）≤1，求解該不等式得答案．

解答 解：當x≥0時，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（x-4{a}^{2}），x≥{a}^{2}}\\{\frac{1}{2}（-x-2{a}^{2}），0≤x＜{a}^{2}}\end{array}\right.$，
由f（x）=$\frac{1}{2}（x-4{a}^{2}）$，x≥a²，得f（x）≥-$\frac{3}{2}$a²；
由f（x）=$\frac{1}{2}（-x-2{a}^{2}）$，0≤x＜a²，得f（x）＞-$\frac{3}{2}$a²．
∴當x≥0時，$f（x）_{min}=-\frac{3}{2}{a}^{2}$．
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴當x＜0時，$f（x）_{max}=\frac{3}{2}{a}^{2}$．
∵對?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），如圖，
∴4a²-（-4a²）≤1，即8a²≤1，解得：-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤a≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．
故選：A．

點評 本題考查了恒成立問題，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，運用了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是由對?x∈R，都有f（x-1）≤f（x）得到不等式4a²-（-4a²）≤1，是中檔題．