Question

過拋物線y²=4x上一點(diǎn)P（4，4），作兩條直線分別交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線PA與PB的斜率存在且互為相反數(shù)，
（1）求y₁+y₂的值；
（2）證明直線AB的斜率是非零常數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用點(diǎn)在拋物線上滿足其方程和斜率的計(jì)算公式即可得出；
（2）利用點(diǎn)在拋物線上滿足其方程和斜率的計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB
由y₁²=4x₁，故kPA=

y1-4

x1-4

=

4

y1+4

(x1≠4)，
同理可得kPB=

4

y2+4

(x2≠4)，
由PA，PB斜率互為相反數(shù)可得k_PA=-k_PB，
即

4

y1+4

=-

4

y2+4

，
化為y₁+y₂=-8；
（2）設(shè)直線AB的斜率為k_AB，
由y₂²=4x₂，y₁²=4x₁
∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y22 4 - y12 4

=

4

y1+y2

=

4

-8

=-

1

2

（常數(shù)）．

點(diǎn)評：本題考查了點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系、斜率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．