Question

已知

a

=（cosx，

1

2

），

b

=（

3

sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）用五點(diǎn)作圖法作出f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
（Ⅲ）求f（x） 在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦函數(shù)的定義域和值域,五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式即可求出f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）用五點(diǎn)作圖法作出f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
（Ⅲ）根據(jù)三角函數(shù)的圖象即可求f（x） 在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（cosx，

1

2

），

b

=（

3

sinx，cos2x），x∈R，
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx+

1

2

cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）；
（Ⅱ）用五點(diǎn)作圖法作出f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
先列表，

x	- π 12	π 6	5π 12	2π 3	11π 12
2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
sin（2x+ π 6 ）	0	1	0	-1	0
y	0	1	0	-1	0

后描點(diǎn)并畫圖．

（Ⅲ）由圖象可知當(dāng)x=

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為f（

π

2

）=sin（2×

π

2

+

π

6

）=-sin

π

6

=-

1

2

，
當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）的最大值是1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握三角函數(shù)圖象的作圖方法．