Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知

2a+b

c

=

cos(A+C)

cosC

（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面積最大時(shí)a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式左邊利用正弦定理化簡，右邊利用誘導(dǎo)公式變形，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinA不為0求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將c與cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，進(jìn)而確定出三角形ABC面積的最大值，以及此時(shí)a與b的值即可．

解答： 解：（1）∵A+C=π-B，即cos（A+C）=-cosB，
∴由正弦定理化簡已知等式得：

2sinA+sinB

sinC

=

-cosB

cosC

，
整理得：2sinAcosC+sinBcosC=-sinCcosB，即-2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosC=-

1

2

，
∵C為三角形內(nèi)角，
∴C=

2π

3

；
（Ⅱ）∵c=2，cosC=-

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+b²+ab≥2ab+ab=3ab，
∴ab≤

4

3

，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立），
∵S=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

3

，
∴當(dāng)a=b時(shí)，△ABC面積最大為

3

3

，此時(shí)a=b=

2 3

3

，
則當(dāng)a=b=

2 3

3

時(shí)，△ABC的面積最大為

3

3

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．