Question

設(shè)函數(shù)f（x）=tan（

x

2

+

π

4

）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期、定義域、單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知θ是第三象限角，且f（θ）=

1

2

，求tanθ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,正切函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)f（x）的最小正周期、令

x

2

+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，確定出函數(shù)的定義域、根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性確定出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)第一問確定出的解析式，由f（θ）=

1

2

，求出tan

θ

2

，再利用二倍角的正切函數(shù)公式即可求出tanθ的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=tan（

x

2

+

π

4

），
∵ω=

1

2

，
∴T=

π

1 2

=2π，即函數(shù)f（x）的最小正周期，
令

x

2

+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，得到x=4kπ+

π

2

，k∈Z，
∴f（x）的定義域為x≠4kπ+

π

2

，k∈Z，
令-

π

2

+2kπ＜

x

2

+

π

4

＜

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

3π

2

+4kπ＜x＜

π

2

+4kπ，k∈Z，
則f（x）單調(diào)區(qū)間為（-

3π

2

+4kπ，

π

2

+4kπ）k∈Z；
（Ⅱ）∵θ是第三象限角，且f（θ）=

1

2

，
∴f（θ）=tan（

θ

2

+

π

4

）=

1

2

，
∴

tan θ 2 +1

1-tan θ 2

=

1

2

，即tan

θ

2

=-

1

3

，
則tanθ=

2tan θ 2

1-tan2 θ 2

=

2×(- 1 3 )

1-(- 1 3 )2

=-

3

4

．

點(diǎn)評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二倍角的正切函數(shù)公式，以及兩角和與差的正切函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．