Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，點E為PA中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：平面PBC⊥平面PAB；
（Ⅲ）若∠PDA=

π

4

，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取PB中點F，連結(jié)EF，CF，由已知條件推導(dǎo)出四邊形EFCD是平行四邊形，由此能證明DE∥平面PBC．
（Ⅱ）由線面垂直得PA⊥BC，再由AB⊥BC，得BC⊥平面PAB，由此能證明平面PBC⊥平面PAB．
（Ⅲ）求出棱錐的高，即可求四棱錐P-ABCD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取PB中點F，連結(jié)EF，CF，
∵E是PA中點，∴EF平行且等于

1

2

AB，
∵AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，
∴EF平行且等于CD，∴四邊形EFCD是平行四邊形，
∴DE∥CF，
∵DE不包含于平面PBC，CF?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（Ⅱ）證明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．
（Ⅲ）解：∵ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，
∴AD=

2

，
∵PA⊥底面ABCD，∠PDA=

π

4

，
∴PA=

2

，
∴四棱錐P-ABCD的體積為

1

3

×

1

2

×(1+2)×1×

2

=

2

2

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查錐體體積的求法，屬于中檔題．