Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為S_n，點(diǎn)（n，

Sn

n

），（n∈N^*）均在函數(shù)y=3x-2的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

3

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于點(diǎn)（n，

Sn

n

），（n∈N^*）均在函數(shù)y=3x-2的圖象上，可得

Sn

n

=3n-2，即S_n=3n²-2n．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)（n，

Sn

n

），（n∈N^*）均在函數(shù)y=3x-2的圖象上，
∴

Sn

n

=3n-2，即S_n=3n²-2n．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，∴a_n=6n-5，n∈N^*．
（2）bn=

3

an•an+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

[(

1

1

-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+(

1

13

-

1

19

)+…+(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]
=

1

2

(1-

1

6n+1

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用“當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法、“裂項(xiàng)求和”的方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．