Question

已知橢圓C方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其長軸長為4，M（x₀，y₀）是橢圓C上任意一點，F(xiàn)（c，0）是橢圓的右焦點．
（1）證明：|MF|=2-

c

2

x₀；
（2）不過焦點F的直線l與圓x²+y²=b²相切于點Q，并與橢圓C交于A，B兩點，且直線l和切點Q都在y軸的右側(cè)，則△ABF的周長是否為定值，若是求出該定值，不是請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由2a=4，可得a=2．由于M（x₀，y₀）是橢圓C上任意一點，可得

x 2 0

4

+

y 2 0

b2

=1，

y

2 0

=b2-

b2

4

x

2 0

，利用兩點之間的距離公式可得|MF|=

(x0-c)2+ y 2 0

=

( c 2 x0-2)2

，即可證明；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（x₁＞0，x₂＞0），連接OA，OQ，在△OAQ中，利用切線的性質(zhì)和勾股定理可得|AQ|2=

x

2 1

+

y

2 1

-b2，又

y

2 1

=b2-

b2

4

x

2 1

，可得|AQ|2=

c2

4

x

2 1

，即|AQ|=

c

2

x1，同理，|BQ|=

c

2

x2，|AB|=|AQ|+|BQ|=

c

2

(x1+x2)，再利用（I）d的結(jié)論即可得出|AB|+|AF|+|BF|=4．

解答： （I）證明：∵2a=4，∴a=2．
∵M（x₀，y₀）是橢圓C上任意一點，
∴

x 2 0

4

+

y 2 0

b2

=1，
∴

y

2 0

=b2-

b2

4

x

2 0

，
∴|MF|=

(x0-c)2+ y 2 0

=

(1- b2 4 ) x 2 0 -2cx0+c2+b2

=

c2 4 x 2 0 -2cx0+4

=

( c 2 x0-2)2

，
∵-2≤x₀≤2，且c＜2，
∴|MF|=2-

c

2

x₀；
（II）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（x₁＞0，x₂＞0），
連接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|2=

x

2 1

+

y

2 1

-b2，
∵

y

2 1

=b2-

b2

4

x

2 1

，
∴|AQ|2=1-

b2

4

x

2 1

=

c2

4

x

2 1

，
∴|AQ|=

c

2

x1，
同理，|BQ|=

c

2

x2，
∴|AB|=|AQ|+|BQ|=

c

2

(x1+x2)，
∴|AB|+|AF|+|BF|=

c

2

(x1+x2)+2-

c

2

x1+2-

c

2

x2=4．
∴△ABF的周長是定值4．

點評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、勾股定理、兩點之間的距離公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．