Question

已知曲線C：f（x）=x³-x
（Ⅰ）試求曲線C在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）試求與直線y=5x+3平行的曲線C的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式寫出直線方程；
（Ⅱ）設(shè)出切點(diǎn)，求出切線的斜率，由兩直線平行的條件得，切點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程，并化為一般式方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-x，∴f（1）=0，
求導(dǎo)數(shù)得：f'（x）=3x²-1，
∴切線的斜率為k=f'（1）=2．
∴所求切線方程為y=2（x-1），即：2x-y-2=0．
（Ⅱ）設(shè)與直線y=5x+3平行的切線的切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則切線的斜率為k=f′(x0)=3x02-1，
又∵所求切線與直線y=5x+3平行，∴3x02-1=5．
解得：x0=±

2

，
代入曲線方程f（x）=x³-x得：切點(diǎn)為(

2

，

2

)或(-

2

，-

2

)，
∴所求切線方程為：y-

2

=5(x-

2

)或y+

2

=5(x+

2

)
即：5x-y-4

2

=0或5x-y+4

2

=0．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用：求切線方程，同時(shí)考查兩直線平行的條件，是一道基礎(chǔ)題．