【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）在中，得，再由平面底面，證的底面，即可證明.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，建立空間直角坐標(biāo)系，得到為平面的一個(gè)法向量，且，再求得平面的法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值．

試題解析：

（Ⅰ）在中，，為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)槠矫?/span>底面，且平面底面，

所以底面.

又平面，

所以.

（Ⅱ）在直角梯形中，，，為的中點(diǎn)，

所以，

所以四邊形為平行四邊形.

因?yàn)?/span>，所以，由（Ⅰ）可知平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，.

因?yàn)?/span>，，所以平面，

即為平面的一個(gè)法向量，且.

因?yàn)?/span>是棱的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又，設(shè)平面的法向量為.

則，即，

令，得，，所以.

從而 .

由題知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，在直角梯形中，，且分別為線段的中點(diǎn)，沿把折起，使，得到如下的立體圖形.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

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（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其焦點(diǎn)在軸上.

（Ⅰ）求過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，，求的最小值.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且，橢圓過(guò)點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，直線交橢圓于另一個(gè)點(diǎn)，求的面積．

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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) 在橢圓：上，且橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)(異于點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).

①若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，求的面積;

②若點(diǎn)的坐標(biāo)為，連結(jié)交于點(diǎn)，記直線的斜率分別為，證明：是定值.

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