Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥BC，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，點(diǎn)O為側(cè)棱SC的中點(diǎn)，且SA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）求證：OD⊥SB；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法即可證明OD⊥SB；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用二面角和法向量之間的關(guān)系即可求出面SCD與面SAB所成銳二面角的余弦值．

解答： 解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件可有：A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2）于是O（1，1，1），
（Ⅰ）因?yàn)?span id="1usyz1l" class="MathJye">

DO

=(0，1，1)，

SB

=(0，2，-2)，
所以

DO

•

SB

=0，
故OD⊥SB．
（Ⅱ）由已知，是平面SAB的一個(gè)法向量，可設(shè)平面SCD的法向量為

n

=(a，b，c)，
由

DC

=(1，2，0)，

DS

=(-1，0，2)，
可得

a+2b=0 -a+2c=0

，
根據(jù)這個(gè)方程組，可取

n

=(2，-1，1)，
設(shè)所求二面角的平面角為θ，則cosθ=

AD • n

| AD || n |

=

6

3

，
故所求二面角的余弦值為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和直線的垂直判斷，以及空間二面角的求解，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理以及，空間向量與二面角的關(guān)系．