Question

如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．AD垂直于PB于D，AE垂直于PC于E．PA=

2

，AB=BC=1．
（1）求證：PC⊥平面ADE；
（2）R為四面體PABC內(nèi)部的點(diǎn)，BR∥平面AED，求R點(diǎn)軌跡形成圖形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由PA⊥平面ABC，推斷出PA⊥BC．又AB⊥BC，進(jìn)而可知BC⊥平面PAB，則BC⊥AD．又AD⊥PB，推斷出AD⊥平面PBC，進(jìn)而可知PC⊥AD，又PC⊥AE，利用線面垂直的判定定理推斷出PC⊥平面ADE．
（2）過點(diǎn)B作BM∥DE交PC于點(diǎn)M，過M做MQ∥AE交AC于點(diǎn)Q，則平面BMQ∥平面ADE．BM∥DE，則

PE

PM

=

PD

PB

=

2

3

，根據(jù)M為CE的中點(diǎn)．MQ∥AE，推斷出點(diǎn)Q為AC中點(diǎn)．又BR∥平面AED，R為四面體PABC內(nèi)部的點(diǎn)，進(jìn)而可推斷R的軌跡是△BQM內(nèi)部的點(diǎn)．由BQ⊥QM，推斷出R點(diǎn)軌跡形成圖形的面積為△BQM的面積，根據(jù)三角形面積公式求得三角形的面積即可．

解答： 解：（1）PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，則BC⊥AD．
又AD⊥PB，∴AD⊥平面PBC，
∴PC⊥AD，又PC⊥AE，∴PC⊥平面ADE．
（2）過點(diǎn)B作BM∥DE交PC于點(diǎn)M，過M做MQ∥AE交AC于點(diǎn)Q，
則平面BMQ∥平面ADE．
∵BM∥DE，則

PE

PM

=

PD

PB

=

2

3

，∴M為CE的中點(diǎn)．
∵M(jìn)Q∥AE，∴點(diǎn)Q為AC中點(diǎn)．
∵BR∥平面AED，R為四面體PABC內(nèi)部的點(diǎn)，
∴R的軌跡是△BQM內(nèi)部的點(diǎn)．
∵BQ⊥QM，∴R點(diǎn)軌跡形成圖形的面積為△BQM的面積，
S_△BQM=

1

2

MQ•BQ=

1

2

×

1

2

×

2

2

=

2

8

，
∴R點(diǎn)軌跡形成圖形的面積為

2

8

．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)定理的靈活運(yùn)用．