Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an﹣3（﹣1）n（n∈N*）．
（1）若bn=a2n﹣1，求證：bn+1=4bn；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）若a1+2a2+3a3+…+nan＞λ2n對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： =
（2）解：a2=2a1﹣3（﹣1）=5，b1=a2﹣1=4，因?yàn)閎n+1=4bn

所以 ，所以{bn}是等比數(shù)列，所以bn=4n=a2n﹣1， ， ，

所以 ，即

（3）解：由（2） ，

令S=121+222+…+n2n

則2S=122+223+…+（n﹣1）2n+n2n+1 ，

S=（n﹣1）2n+1+2

n為奇數(shù)時(shí)， ，

n為偶數(shù)時(shí)，

所以n為奇數(shù)時(shí) ，

即 恒成立，

易證 遞增，n=1時(shí) 取最小值 ，

所以 n為偶數(shù)時(shí)，

，

即 ，

易證 遞增，n=2時(shí) 取最小值 ，

所以

綜上可得

【解析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推公式即可證明，（2）先求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再分類求出{an}的通項(xiàng)公式，（3）令S=121+222+…+n2n根據(jù)錯(cuò)位相減法求出Sn ， 分離參數(shù)，根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特征即可求出λ的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案．