Question

（1）已知復(fù)數(shù)z=1-2i，求

z+1

z-2

的值；
（2）已知x是復(fù)數(shù)，解關(guān)于x的方程x²-8x+18=0；
（3）已知2-3i是關(guān)于x的方程x²+mx+n=0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m，n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出；
（2）配方得（x-4）²+2=0，可得（x-4）²=2i²，兩邊開方即可得出；
（3）把2-3i代入方程x²+mx+n=0，根據(jù)復(fù)數(shù)相等即可得出．

解答： 解：（1）∵z=1-2i，∴

z+1

z-2

=

2-2i

-1-2i

=

-2+2i

1+2i

=

(-2+2i)(1-2i)

(1+2i)(1-2i)

=

2+6i

5

=

2

5

+

6

5

i．
（2）配方得（x-4）²+2=0，
∴（x-4）²=2i²，
∴x-4=±

2

i
∴方程的根為 x₁=4-

2

i，x₂=4+

2

 i．
（3）由已知有 （2-3i）²+m（2-3i）+n=0 整理得（2m+n-5）+（-3m-12）i=0，
∴2m+n-5=0且-3m-12=0，
解得m=-4，n=13．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其相等、解有虛根的實(shí)系數(shù)的一元二次方程，屬于基礎(chǔ)題．