Question

19．證明．對于任意兩個向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$都有||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||≤|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 分向量共線與不共線的情況，利用向量加法、減法的三角形法則做出圖形，結(jié)合三角形的邊的關(guān)系：“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行證明．

解答 證明：分三種情況考慮．
（1）當(dāng)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$共線且方向相同時，|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|＜|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|．
（2）當(dāng)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$共線且方向相反時，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$-（-$\overrightarrow$），
利用（1）的結(jié)論有||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||＜|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|．
（3）當(dāng)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線時，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，作$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$．
利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||≤|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|．
綜上，結(jié)論得證．

點(diǎn)評 本題主要考查了平面向量的共線與不共線時兩向量和（或差）的模與向量模的和（或差）的大小關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是要熟練運(yùn)用向量的加法及減法的三角形法則（平行四邊形法則）．分類討論的數(shù)學(xué)思想要注意掌握．