Question

12．已知函數(shù)f（x）=x（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$），則方程f（x-1）=f（x²-2x+1）的所有實(shí)根構(gòu)成的集合的元素個(gè)數(shù)為3．

Answer 1

分析 由題意可判斷函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且可判斷在[0，+∞）上是增函數(shù)；從而可得x-1=x²-2x+1或x-1=-（x²-2x+1），從而解得．

解答 解：∵f（x）=x（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$），
∴f（-x）=（-x）（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$）
=x（$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$-$\frac{1}{2}$）=x（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）=f（x），
∴函數(shù)f（x）=x（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）是R上的偶函數(shù)，
∵f′（x）=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）+$\frac{x•{2}^{x}•ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）≥0；
故函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)；
∵f（x-1）=f（x²-2x+1），
∴x-1=x²-2x+1或x-1=-（x²-2x+1），
故x=1或x=2或x=0，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用．