Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

3

2

x²+8．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），分別解出f′（x）＞0，與f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間；
（2）令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=1，把x在（0，2）上變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況列出表格即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
當(dāng)f′（x）＞0，即3x（x-1）＞0時(shí)，解得x＜0或x＞1．
當(dāng)f′（x）＜0，即3x（x-1）＜0時(shí)，0＜x＜1．
因此，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）．
（2）令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=1
當(dāng)x在（0，2）上變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	15 2	單調(diào)遞增

∴當(dāng)x=1時(shí)，f(x)有極小值f(1)=

15

2

，
又f（0）=8，f（2）=10，
因此，f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值是10；最小值是

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．