Question

已知函數(shù)f（x）=（ax+3）e^x，其中e自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=

1

2

x-lnx+t．當(dāng)a=-1時，存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥g（x）成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）分a=0，a＜0，a＞0三種情況進行討論，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥g（x）成立等價于f（x）_max≥g（x）_min，由（1）即導(dǎo)數(shù)可分別求得兩函數(shù)的最值；

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=3e^x，則f（x）在R上單增，無單減區(qū)間；
當(dāng)a≠0時，由f（x）=（ax+3）e^x，得f′（x）=a（x+1+

3

a

）e^x，
如a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜-1-

3

a

，由f′（x）＜0，可得x＞-1-

3

a

，
∴f（x）的單增區(qū)間為(-∞，-1-

3

a

)，單減區(qū)間為(-1-

3

a

，+∞)；
如a＞0，由f′（x）＞0，可得x＞-1-

3

a

，由f′（x）＜0，可得x＜-1-

3

a

，
∴f（x）的單增區(qū)間為(-1-

3

a

，+∞)，單減區(qū)間為(-∞，-1-

3

a

)．
（2）當(dāng)a=-1時，由（1）可知f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞減，
則f(x)max=f(2)=e2，
由g(x)=

1

2

x-lnx+t知g′（x）=

1

2

-

1

x

=

x-2

2x

，
易知g（x）在區(qū)間（0，2）上單減，在區(qū)間（2，+∞）上單增．
則g（x）_min=1-ln2+t，
則存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥g（x）成立等價于f（x）_max≥g（x）_min，
∴e²≥1-ln2+t，即t∈（-∞，e²+ln2-1]．

點評：考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、圖象的細致分析．本題考查的解題模式不是常見的將函數(shù)相減構(gòu)造新的函數(shù)，而是兩側(cè)獨立求最值，這是題型之一，可完整學(xué)生對題型的認識．另，本題考核存在性，與前面考核恒成立相對應(yīng)，形成完整的題型考核．