Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

3

2

，前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2a_n+1+S_n=3，（ n∈N⁺）
（Ⅰ）求a₂及a_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=n（

3+an

an

），n∈N^*，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n；若存在n∈N^*且n≥3，使不等式T_n≤λ成立，求λ范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由 2a_n+1+S_n=3，解得a2=

3

4

，

an+1

an

=

1

2

，由此能求出an=

3

2

•(

1

2

)n-1=3•(

1

2

)n（n∈N^*）
（Ⅱ）由cn=n•(2n+1)=n•2n+n，利用錯(cuò)位相減法能求出Wn=(n-1)•2n+1+2，從而得到
Tn=Wn+

(1+n)n

2

=(n-1)•2n+1+

n2+n

2

+2，由此能注出λ≥40．

解答： （本題滿分14分）
解：（Ⅰ）由 2a_n+1+S_n=3，得2a₂+a₁=3，又a1=

3

2

，所以a2=

3

4

，…（2分）
由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相減，得

an+1

an

=

1

2

，…（4分）
又 

a2

a1

=

1

2

，…（5分）
∴數(shù)列{a_n}是以

3

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴an=

3

2

•(

1

2

)n-1=3•(

1

2

)n（n∈N^*） …（7分）
（Ⅱ）解：cn=n•(2n+1)=n•2n+n，…（9分）
設(shè)Wn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，
2w_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減，得Wn=(n-1)•2n+1+2，…（12分）
Tn=Wn+

(1+n)n

2

=(n-1)•2n+1+

n2+n

2

+2
∵T_n在n∈N^*且n≥3上單調(diào)遞增，
∴（T_n）_min=T₃=40，解得λ≥40．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．