Question

已知方程x²+y²+kx+2y+k²=0表示圓，
（Ⅰ）求x²+y²+kx+2y+k²=0表示的圓中最大圓的面積
（Ⅱ）當(dāng)圓有最大面積時(shí)，求直線y=（k-1）x+2的傾斜角α，并判斷此時(shí)直線與圓的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程,二元二次方程表示圓的條件

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（I）將題中的圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓的半徑r滿足r²=1-

3k2

4

，所以當(dāng)k=0時(shí)r²最大，相應(yīng)地圓有最大面積，并求得最大圓的面積為π；
（II）由（I）得圓有最大面積時(shí)k=-1，從而得到直線的傾斜角α=

3π

4

．再由點(diǎn)到直線的距離公式，算出圓心到直線的距離大于圓的半徑，可判斷出直線與圓相離．

解答： 解：（Ⅰ）把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得(x+

k

2

)2+（y+1）²=1-

3k2

4

，
∴當(dāng)圓的面積最大時(shí)，此時(shí)圓半徑的平方最大，
由半徑r滿足r²=1-

3k2

4

，可得當(dāng)k=0時(shí)r²最大，此時(shí)圓心坐標(biāo)為（0，-1）
因此圓的最大半徑為1，最大圓的面積為πr²=π；
（II）由（I）可得當(dāng)k=0時(shí)圓有最大面積，
可得直線y=（k-1）x+2即y=-x+2，斜率k=-1．
∴直線傾斜角α滿足tanα=-1，結(jié)合α∈[0，π）可得α=

3π

4

．
∵圓心（0，-1）到直線y=-x+2的距離為

|0-(-1)+2|

2

=

3 2

2

＞1，
∴圓心到直線的距離大于圓的半徑，可得直線與圓相離．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有參數(shù)k的圓方程，求圓的最大面積并依此判斷直線與圓的位置關(guān)系．著重考查了圓的方程、直線的基本量與基本形式、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．