Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=-x²+2|x-a|．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（2）若a=

1

2

，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：帶絕對(duì)值的函數(shù),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接利用偶函數(shù)的定義，推出關(guān)系式然后求a的值；
（2）通過(guò)a=

1

2

，去掉絕對(duì)值得到分段函數(shù)，利用二次函數(shù)的開口方向，直接求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）化簡(jiǎn)函數(shù)為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式形式，通過(guò)a的范圍，分別求出函數(shù)的最大值．

解答： （本小題滿分15分）
解：（1）任取x∈R，則f（-x）=f（x）恒成立，即
-（-x）²+2|-x-a|=-x²+2|x-a|恒成立．
∴|x+a|=|x-a|恒成立，兩邊平方得：x²-2ax+a²=x²+2ax+a²，
∴a=0                               …（4分）
（2）若a=

1

2

，則f（x）=-x²+2|x-

1

2

|=

-x2-2x+1，x＜ 1 2 -x2+2x-1，x≥ 1 2

．
由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1]，[

1

2

，1]，…（8分）
（3）f（x）=-x²+2|x-a|=

-x2+2x-2a，x≥a -x2-2x+2a，x＜a

． …（10分）
即f（x）=

-(x-1)2+1-2a，x≥a -(x+1)2+1+2a，x＜a

⒈當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）在（-∞，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．∴f（x）_max=f（1）=1-2a．
⒉當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，f（x）在（-∞，-1），（a，1）上遞增，在（-1，a），（1，+∞）上遞減．
∴f（x）_max=max{f（-1），f（1）}={1+2a，1-2a}，
（ⅰ）當(dāng)-1＜a≤0時(shí)，1+2a≤1-2a，∴f（x）_max=1-2a．
（ii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1+2a＞1-2a，∴f（x）_max=1+2a．
⒊當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在（-∞，-1）上遞增，在（-1，+∞）上遞減．
∴f（x）_max=f（-1）=1+2a．
綜上所述，f（x）_max=

1-2a，a≤0 1+2a，a＞0

                          …（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，函數(shù)的最值的求法，考查分類討論思想以及計(jì)算能力．