Question

若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n=

1

1-an-1

，（n=2，3，4，…），且有一個(gè)形如a_n=

3

sin（ωn+φ）+

1

2

的通項(xiàng)公式，其中ω、φ均為實(shí)數(shù)，且ω＞0，|φ|＜

π

2

，則ω=

 

，φ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推公式，求出數(shù)列{a_n}的取值具備周期性，根據(jù)三角函數(shù)的周期和三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n=

1

1-an-1

，
∴a₂=

1

1-2

=-1，a₃=

1

1-(-1)

=

1

2

，a₄=

1

1- 1 2

=

1

1 2

=2，
則數(shù)列{a_n}的取值具備周期性，周期T=3，
則三角函數(shù)的周期T=

2π

ω

=3，解得ω=

2π

3

，
此時(shí)a_n=

3

sin（ωn+φ）+

1

2

=

3

sin（

2π

3

n+φ）+

1

2

，
則當(dāng)n=3時(shí)，a₃=

3

sin（

2π

3

×3+φ）+

1

2

=

3

sinφ+

1

2

=

1

2

，
即sinφ=0，
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=0，
故答案為：

2π

3

，0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列和三角函數(shù)的綜合問(wèn)題，根據(jù)數(shù)列的遞推公式判斷數(shù)列{a_n}的取值具備周期性是解決本題的關(guān)鍵．