Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m，（m∈R，A∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，a+1]上的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，若對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分別對(duì)a≥2，a＜2＜a+1，a+1≤2，三種情況討論，根據(jù)對(duì)稱軸的位置確定函數(shù)的最小值的表達(dá)式．
（2）對(duì)m＞0，m＜0時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定m的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=2，
當(dāng)a≥2時(shí)，函數(shù)f（x）_min=f（a）=a²-3a+3，
當(dāng)a＜2＜a+1，即1＜a＜2時(shí)，f（x）_min=f（2）=a-1，
當(dāng)a+1≤2，即a≤1時(shí)，f（x）_min=f（a+1）=a²-a，
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，f（x）∈[1，3]，記A=[1，3]，
由題意，m≠0，
當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）=mx+5-2m，在[1，4]上 增函數(shù)，
∴g（x）∈[5-m，5+2m]，記B=[5-m，5+2m]．
由題意知A⊆B，
∴

-1≥5-m 3≤5+2m m＞0

，求得m≥6，
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）=mx+5-2m在[1，4]上是減函數(shù)，
∴g（x）∈[5+2m，5-m]，記C=[5+2m，5-m]，
由題意，知A⊆C，
∴

-1≥5+2m 3≤5-m m＜0

，解得m≤-3，
綜上所述，m的取值范圍為（-∞，3]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)對(duì)稱軸，開口方向，頂點(diǎn)等問題的關(guān)注．