Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）．
（1）證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項．

Answer 1

考點：等差關系的確定,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）根據(jù)（1），即可求數(shù)列{a_n}的通項．

解答： 解：（1）證明：將3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），
即a_n-1-a_n=3a_na_n-1，
則

an-1-an

anan-1

=

1

an

-

1

an-1

=3（n≥2）．
所以數(shù)列{

1

an

}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）可得

1

an

=1+3（n-1）=3n-2，
所以a_n=

1

3n-2

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的判斷和通項公式的應用，要求熟練掌握相應的公式．