Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F，右頂點(diǎn)A，右準(zhǔn)線x=4且|AF|=1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P，且與右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，試探究在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F，右頂點(diǎn)A，右準(zhǔn)線x=4且|AF|=1，求出a，c，可得b，即可求得橢圓E的方程．
（2）直線l：y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x₀，y₀），可得m≠0，△=0，進(jìn)而可得P(-

4k

m

，

3

m

)．由Q（4，4k+m），可得

MP

=(-

4k

m

-t，

3

m

)，

MQ

=(4-t，4k+m)，若以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M，則

MP

•

MQ

=0恒成立，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F，右頂點(diǎn)A，右準(zhǔn)線x=4且|AF|=1，
∴

a2

c

=4，a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b=

3

，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（2）直線l：y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，（7分）
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，即m²=3+4k²．
xp=-

4km

3+4k2

=-

4k

m

，yp=kxp+m=-

4k2

m

+m=

3

m

，即P(-

4k

m

，

3

m

)．（9分）
假設(shè)存在點(diǎn)M滿足題意，則由橢圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)M應(yīng)在x軸上，不妨設(shè)點(diǎn)M（t，0）．
又Q（4，4k+m），

MP

=(-

4k

m

-t，

3

m

)，

MQ

=(4-t，4k+m)，
若以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M，
則

MP

•

MQ

=(-

4k

m

-t)•（4-t）+

3

m

•(4k+m)=t2-4t+3+

4k

m

(t-1)=0恒成立，
故

t=1 t2-4t+3=0

，即t=1．（13分）
∴存在點(diǎn)M適合題意，點(diǎn)M與右焦點(diǎn)重合，其坐標(biāo)為（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查化歸思想，屬于中檔題．