實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2=4,則x+y-xy的最大值為
 
考點(diǎn):基本不等式
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:由實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2=4,利用三角函數(shù)代換x=2cosθ,y=2sinθ.令t=sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)
(θ∈[0,2π)),t∈[-
2
,
2
]
,可得2sinθcosθ=t2-1.x+y-xy=2cosθ+2sinθ-4sinθcosθ=-2(t-
1
2
)2+
5
2
,再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答: 解:∵實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2=4,
∴可設(shè)x=2cosθ,y=2sinθ.
令t=sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)
(θ∈[0,2π)),
t∈[-
2
,
2
]

則t2=1+2sinθcosθ,可得2sinθcosθ=t2-1.
∴x+y-xy=2cosθ+2sinθ-4sinθcosθ
=2t-2(t2-1)
=-2(t-
1
2
)2+
5
2
5
2
,
當(dāng)且僅當(dāng)t=
1
2
時(shí),x+y-xy取得最大值為
5
2

故答案為:
5
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)代換、三角函數(shù)基本關(guān)系式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,考查了轉(zhuǎn)化方法和計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,右頂點(diǎn)A,右準(zhǔn)線x=4且|AF|=1.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P,且與右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q,試探究在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a≤-
3
2
,求證:關(guān)于x的三個(gè)方程:x2+4ax+3-4a=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+4ax-15a+4=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C:y2=4x,直線l:y=-x+b與拋物線C交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)若以AB為直徑的圓與x軸相切,求該圓的方程;
(Ⅱ)若直線l與y軸負(fù)半軸相交,記△AOB面積為S,求
S
|b|
的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

執(zhí)行框圖,若輸出P的值是24,則輸入的正整數(shù)N應(yīng)為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-[x],其中[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),若關(guān)于x的方程f(x)=kx+k有三個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,己知|
OA
|=2,|
OB
|=1
,∠AOB為銳角,OM平分∠AOB,點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn),
OP
=x
OA
+y
OB
,若點(diǎn)P在陰影部分(含邊界)內(nèi),則在下列給出的關(guān)于x、y的式子中,滿足題設(shè)條件的為
 
(寫出所有正確式子的序號(hào)).
①x≥0,y≥0;②x-y≥0;③x-y≤0;④x-2y≥0;⑤2x-y≥0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為
x=cosα
y=2+sinα
(α為參數(shù)).在極坐標(biāo)系中,C2的方程為ρ(3cosθ-4sinθ)=6,則C1與C2的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在銳角△ABC中,AB=3,AC=4,其面積S△ABC=3
3
,則BC=( 。
A、5
B、
13
37
C、
37
D、
13

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同步練習(xí)冊(cè)答案