考點(diǎn):基本不等式
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:由實(shí)數(shù)x、y滿足x
2+y
2=4,利用三角函數(shù)代換x=2cosθ,y=2sinθ.令t=sinθ+cosθ=
sin(θ+)(θ∈[0,2π)),
t∈[-,],可得2sinθcosθ=t
2-1.x+y-xy=2cosθ+2sinθ-4sinθcosθ=
-2(t-)2+,再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答:
解:∵實(shí)數(shù)x、y滿足x
2+y
2=4,
∴可設(shè)x=2cosθ,y=2sinθ.
令t=sinθ+cosθ=
sin(θ+)(θ∈[0,2π)),
∴
t∈[-,].
則t
2=1+2sinθcosθ,可得2sinθcosθ=t
2-1.
∴x+y-xy=2cosθ+2sinθ-4sinθcosθ
=2t-2(t
2-1)
=
-2(t-)2+≤,
當(dāng)且僅當(dāng)
t=時(shí),x+y-xy取得最大值為
.
故答案為:
.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)代換、三角函數(shù)基本關(guān)系式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,考查了轉(zhuǎn)化方法和計(jì)算能力,屬于中檔題.