Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，離心率為

3

2

，過(guò)F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為l
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，若k≠0，試證明：

1

kk1

+

1

kk2

為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

2b2

a

=1，

c

a

=

3

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），則直線l的方程為y-y₀=k（x-x₀）．聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y-y0=k(x-x0)

，得（1+4k²）x²+8（ky₀-k²x₀）x+4（y₀²-2kx₀y₀+k²x₀²-1）=0．由此利用根的判別式結(jié)合題設(shè)條件能證明

1

kk1

+

1

kk2

為定值-8．

解答： （1）解：∵c²=a²-b²，∴將x=-c代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y=±

b2

a

．
∵過(guò)F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為l，
∴

2b2

a

=1，即a=2b²．…（2分）
∵離心率e=

c

a

=

3

2

，…（4分）
∴a=2，b=1．…（5分）
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y²=1．…（6分）
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），則直線l的方程為y-y₀=k（x-x₀）．
聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y-y0=k(x-x0)

，…（8分）
整理得（1+4k²）x²+8（ky₀-k²x₀）x+4（y₀²-2kx₀y₀+k²x₀²-1）=0．
由題意知△=0，即（4-x₀²）k²+2x₀y₀k+1-y₀²=0．…（10分）
又

x02

4

+y₀²=1，
∴16y₀²k²+8x₀y₀k+x₀²=0，
∴k=-

x0

4y0

．…（12分）
由（2）知

1

k1

+

1

k2

=

x0+ 3

y0

+

x0- 3

y0

=

2x0

y0

，…（15分）
∴

1

kk1

+

1

kk2

=

1

k

(

1

k1

+

1

k2

)=（

-4y0

x0

）•

2x0

y0

=-8，
∴

1

kk1

+

1

kk2

為定值，這個(gè)定值為-8．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩數(shù)和為定值的證明與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．