Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn)，又PA=AB=4，∠CDA=120°．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求二面角D-PC-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：

分析：（1）利用線面垂直的判定定理，證明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面DPC、平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角D-PC-B的余弦值．

解答： （1）證明：∵△ABC是正三角形，M是AC中點(diǎn)，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（2）解：分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

∴B（4，0，0），C（2，2

3

，0），D（0，

4 3

3

，0），P（0，0，4）．
設(shè)平面PBC的一個法向量為

n

=（x，y，z），則
∵

PC

=（2，2

3

，-4），

PB

=（4，0，-4），
∴

2x+2  3 y-4z=0 4x-4z=0

，
令z=3，得x=3，y=

3

，則平面PBC的一個法向量為

n

=（3，

3

，3），
同理可求平面DPC的法向量

m

=（-1，

3

，1）．
設(shè)二面角D-PC-B的大小為θ，則cosθ=

|-3+3+3|

21 • 5

=

105

35

．
∴二面角D-PC-B余弦值為

105

35

．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，考查二面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查向量法的運(yùn)用，確定平面的法向量是關(guān)鍵．