Question

已知a＞0，a≠1，命題p：“函數(shù)f（x）=a^x在（0，+∞）上單調(diào)遞減”，命題q：“關(guān)于x的不等式x²-2ax+

1

4

≥0對一切的x∈R恒成立”，若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：第一步：分別求出p，q為真時a的取值范圍；
第二步：由題設(shè)“p∧q為假命題，p∨q為真命題”推斷p，q的真假性；
第三步：綜合前面兩步，由p，q的真假性即可求出a的取值范圍．

解答： 解：若p為真，則0＜a＜1；
若q為真，則△=4a²-1≤0，得-

1

2

≤a≤

1

2

，
又a＞0，a≠1，∴0＜a≤

1

2

．
因為p∧q為假命題，p∨q為真命題，所以p，q中必有一個為真，且另一個為假．
①當(dāng)p為真，q為假時，由

0＜a＜1 a＞ 1 2

⇒

1

2

＜a＜1；
②當(dāng)p為假，q為真時，

a＞1 0＜a≤ 1 2

無解．    
綜上，a的取值范圍是(

1

2

，1)．

點評：1．求解本題時，應(yīng)注意大前提“a＞0，a≠1”，a的取值范圍是在此條件下進(jìn)行的．
2．本題考查了根據(jù)復(fù)合命題的真假反過來推斷簡單命題的真假，求解此類問題時，應(yīng)熟記以下結(jié)論：
（1）“或”命題p∨q的真假：一真為真，兩假才假；
（2）“且”命題p∧q的真假：一假為假，兩真才真；
（3）p的否定￢p：與p的真假相反．