如圖，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)都為3
2
，點(diǎn)M，N分別在PA，BD上，且
PM
PA
=
BN
BD
=
1
3
．
（1）求證：MN⊥AD；
（2）求MN與平面PAD所成角的正弦值．
考點(diǎn)：直線與平面所成的角
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）求出
MN
=（-1，1，-2），
AD
=（-3，-3，0），證明
MN
•
AD
=3-3+0=0，可得
MN
⊥
AD
，即可證明MN⊥AD；
（2）求出平面PAD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求MN與平面PAD所成角的正弦值．
解答： （1）證明：由題意，A（3，0，0），D（0，-3，0），M（1，0，2），N（0，1，0），則
MN
=（-1，1，-2），
AD
=（-3，-3，0）．
∴
MN
•
AD
=3-3+0=0，
∴
MN
⊥
AD
，
∴MN⊥AD；
（2）解：∵P（0，0，3），A（3，0，0），D（0，-3，0），
∴
PA
=（3，0，-3），
AD
=（-3，-3，0），
設(shè)平面PAD的法向量為
n
=（x，y，z），則
3x-3z=0
-3x-3y=0
，
∴可取
n
=（1，-1，1），
∵
MN
=（-1，1，-2），
∴MN與平面PAD所成角的正弦值為|
n
•
MN
|
n
||
MN
|
|=|
-1-1-2
3
•
6
|=
2
2
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直，考查線面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

雙曲線2x2-y2=-1的離心率為（　　）
A、
6
2
B、
3
C、
2
D、
2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x4+x2-1，g（x）=ax3+x2+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與y=g（x）在點(diǎn)（1，1）處相交且有相同的切線，求a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）+g（x），若對(duì)于任意的a∈[-2，2]，函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[-1，1]上的值恒為負(fù)數(shù)，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a2n=qn，a2n-1=d(n+1)，(n∈N*)，且前n項(xiàng)和為Sn，若a5=S2=8．
（1）求實(shí)數(shù)q，d；      
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一列火車從北京西站開(kāi)往石家莊，全程277km，火車出發(fā)10min開(kāi)出了13km后，以120km/h的速度勻速行駛． 
（1）試寫出火車從出發(fā)開(kāi)始行駛的路程s（km）與勻速行駛的時(shí)間t（h）之間的關(guān)系式．
（2）求火車離開(kāi)北京2h后行駛的路程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
x
+lnx-1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)x0∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x0處的切線與y軸垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若實(shí)數(shù)m，n滿足m＞0，n＞0，求證：nnem≥mnen．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正三棱錐P-ABC中，E、F分別是AC，PC的中點(diǎn)，若EF⊥BF，AB=2，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)是M，若∠MF1F2=30°，則雙曲線E的離心率是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知下列命題：
①命題“若x≠1，則x2-3x+2≠0”的逆否命題是“若x2-3x+2=0，則x=1”
②命題 p：?x∈R，x2+x+1≠0，則?p：?x∈R，x2+x+1=0．
③若p∨q為真命題，則p，q均為真命題
④“x＞2”是“x2-3x+2＞0”的充分不必要條件
其中，真命題的個(gè)數(shù)有（　�。�
A、4個(gè)B、3個(gè)C、2個(gè)D、1個(gè)

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