Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是， ，且點(diǎn)在橢圓上.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于異于的不同兩點(diǎn)， ，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由焦距得，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，代入求解即可；

（2）由題意，直線的斜率不等于0，設(shè)直線的方程為， ， ，直線與橢圓聯(lián)立得， ，點(diǎn)到直線的距離為， 的面積 ，利用韋達(dá)定理帶入得，令，則即可的最值.

試題解析：

(1)由題意，焦距，∴，

∴橢圓.

又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，

解得或 (舍)，∴.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)由(1)，得點(diǎn)，

由題意，直線的斜率不等于0，設(shè)直線的方程為， ， ，

聯(lián)立，消去，得，

∴，

， ，

∵，

化簡(jiǎn)，得，

又點(diǎn)到直線的距離為，

∴的面積 ，

令，則，

而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，

∴在時(shí)單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)即時(shí)， 的面積有最大值.