Question

如圖，已知四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，CD=PD=2EA，PD∥EA，F(xiàn)，G，H分別為PB，BE，PC的中點．
（I）求證：GH∥平面PDAE；
（II）求證：平面FGH⊥平面PCD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）分別取PD的中點M，EA的中點N，連結(jié)MH、NG、MN，由已知得四邊形CHMN是平行四邊形，由此能證明GH∥平面PDAE．
（Ⅱ）由線面垂直得PD⊥BC，由已知得BC⊥CD，從而BC⊥平面PCD，由三角形中位線定理得FH∥BC，從而FH⊥平面PCD，由此能證明平面FGH⊥平面PCD．

解答： 證明：（Ⅰ）分別取PD的中點M，EA的中點N，連結(jié)MH、NG、MN，
∵G，H分別是BE，PC的中點，∴MH

∥

.

1

2

CD，NG

∥

.

1

2

AB，
∵AB

∥

.

CD，∴MH

∥

.

NG，
∴四邊形CHMN是平行四邊形，∴GH∥MN，
又∵GH?平面PDAE，MN?平面PDAE，
∴GH∥平面PDAE．
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵BC⊥CD，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，
∵F，H分別為PB、PC的中點，∴FH∥BC，
∴FH⊥平面PCD，
∵FH?平面FGH，∴平面FGH⊥平面PCD．

點評：本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，意在考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力．