Question

已知方程

|sinx|

x

=k在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的解α，β（α＜β），則下面結(jié)論正確的是（　�。�

• A、sinα=αcosβ
• B、sinα=-αcosβ
• C、cosα=βsinβ
• D、sinβ=-βsinα

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：方程

|sinx|

x

=k有兩個(gè)根，即函數(shù)y=|sinx|和函數(shù)y=kx在（0，+∞）上有兩個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖象，利用導(dǎo)數(shù)求切線即可．

解答： 解：∵

|sinx|

x

=kx有兩個(gè)根，∴函數(shù)y=|sinx|和函數(shù)y=kx在（0，+∞）上有兩個(gè)交點(diǎn)，x＞0且k＞0，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖（1）

      圖1
函數(shù)y=|sinx|和函數(shù)y=kx在（0，π）上有一個(gè)交點(diǎn)A（α，sinα），在（π，2π）上有一個(gè)切點(diǎn)B（β，sinβ）時(shí)滿足題意，α，β是方程的根．
當(dāng)x∈（π，2π）時(shí)，f（x）=|sinx|=-sinx，f′（x）=-cosx，
∴在B處的切線為y-sinβ=f′（β）（x-β），將x=0，y=0代入方程，得sinβ=-βcosβ，
∴

sinβ

β

=-cosβ，
∵O，A B三點(diǎn)共線，
∴

-sinα

α

=

-sinβ

β

，
∴

sinα

α

=-cosβ，
∴sinα=-αcosβ．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題借助圖象考查了方程的根，函數(shù)的零點(diǎn)，以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)．把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．