Question

已知圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=25，A（3，4）為定點，過A的兩條弦MN、PQ互相垂直，記四邊形MPNQ面積的最大值與最小值分別為S₁，S₂，則

S

2 1

-

S

2 2

是（　　）

• A、200
• B、100
• C、64
• D、36

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,直線與圓

分析：畫出圖形，先確定MN²+PQ²為定值，表示出面積，即可求四邊形ABCD的面積的最大值和最小值．

解答： 解：圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=25，
圓心坐標(biāo)C（2，1），半徑R=5
設(shè)弦MN，PQ的中點分別為E，F(xiàn)，
則CE²+CF²=CA²=（3-2）²+（4-1）²=10，
CE²+NE²=CF²+QF²=25，
NE²+QF²=（25-CE²）+（25-CF²）=50-（CE²+CF²）=40，
MN²+PQ²=4（NE²+QF²）=160
∴S²=

1

4

MN²×PQ²=

1

4

MN²×（160-MN²），
MN²∈[60，100]．
當(dāng)MN²=80時，S²取得最大值：S₁²=1600．
當(dāng)MN²=60時，S²取得最小值：S₂²=1500．
則

S

2 1

-

S

2 2

=1600-1500=100
故選：B．

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查面積的計算，最值的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想．