Question

15．已知函數(shù)f（x）=3^-x（-1≤x≤1）
（1）求關(guān)于x的函數(shù)y=[f（x）]²-2a•f（x）+3（a≤3），當x∈[-1，1]時的最小值h（a）；
（2）我們把同時滿足下列兩個性質(zhì)的函數(shù)稱為“和諧函數(shù)”：
①函數(shù)在整個定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減函數(shù)；
②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[p，q]使得函數(shù)在區(qū)間[p，q]上的值域為p²，q²的閉區(qū)間（p＜q）；
（Ⅰ）判斷（1）中h（x）是否為“和諧函數(shù)”？若是，求出p，q的值或關(guān)系式；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）若關(guān)于x的函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+t（x≥1）是“和諧函數(shù)”，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過換元，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，求出對稱軸，通過對對稱軸與區(qū)間位置關(guān)系的討論，求出最小值h（a）；
（2）（Ⅰ）由新定義，假設(shè)h（x）為“和諧函數(shù)”，討論p，q的范圍，通過方程的解即可判斷；
（Ⅱ）據(jù)和諧函數(shù)的定義，列出方程組，可得p²，q²為方程$\sqrt{x-1}$+t=x的二實根，再由二次方程實根的分布，即可得到所求t的范圍．

解答 解：（1）令t=3^-x，x∈[-1，1]．由（1）知t∈[$\frac{1}{3}$，3]．
∴函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3=t²-2at+3，
對稱軸x=a（a≤3）①a≤$\frac{1}{3}$時，y_min=（$\frac{1}{3}$）²-$\frac{2}{3}$a+3=$\frac{28}{9}$-$\frac{2}{3}$a，
②$\frac{1}{3}$＜a≤3時，y_min=a²-2a²+3=3-a²．
∴h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}，a≤\frac{1}{3}}\\{3-{a}^{2}，\frac{1}{3}＜a≤3}\end{array}\right.$．
（2）（I）若h（x）為“和諧函數(shù)”，
則h（x）在（-∞，3]上存在區(qū)間[p，q]（p＜q），使得g（x）在區(qū)間[p，q]
上的值域為[p²，q²]．
①若p＜q≤$\frac{1}{3}$，h（x）遞減，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28}{9}-\frac{2}{3}p={q}^{2}}\\{\frac{28}{9}-\frac{2}{3}q={p}^{2}}\end{array}\right.$，得p+q=$\frac{2}{3}$，
這與p＜q≤$\frac{1}{3}$矛盾．
②-3＜p＜q≤3時$\left\{\begin{array}{l}{3-{p}^{2}={q}^{2}}\\{3-{q}^{2}={p}^{2}}\end{array}\right.$恒成立
此時p、q、滿足$\left\{\begin{array}{l}{{p}^{2}+{q}^{2}=3}\\{\frac{1}{3}≤p＜q≤3}\end{array}\right.$，這樣的p，q存在．
③p＜$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$＜q≤3時，解得p=$\frac{1}{3}$矛盾．
∴（1）中h（x）是“和諧函數(shù)”，p、q滿足$\left\{\begin{array}{l}{{p}^{2}+{q}^{2}=3}\\{\frac{1}{3}≤p＜q≤3}\end{array}\right.$；
（II）∵y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+t在[1，+∞）遞增，
由和諧函數(shù)的定義知，該函數(shù)在定義域[1，+∞）內(nèi)，
存在區(qū)間[p，q]（p＜q），使得該函數(shù)在區(qū)間[p，q]上的值域為[p²，q²]，所以p≥1，$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{p}^{2}-1}+t={p}^{2}}\\{\sqrt{{q}^{2}-1}+t={q}^{2}}\end{array}\right.$，
∴p²，q²為方程$\sqrt{x-1}$+t=x的二實根，
即方程x²-（2t+1）x+t²+1=0在[1，+∞）上存在兩個不等的實根，
且x≥t恒成立，
令u（x）=x²-（2t+1）x+t²+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{2t+1}{2}＞1}\\{u（1）≥0}\\{t≤1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{t＞\frac{3}{4}}\\{t＞\frac{1}{2}}\\{（t-1）^{2}≥0}\\{t≤1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{3}{4}$＜t≤1
∴實數(shù)t的取值范圍（$\frac{3}{4}$，1]．

點評 本題考查新定義題，關(guān)鍵是理解題中的新定義，此題型是近幾年高考�？碱}型．求分段函數(shù)的函數(shù)值關(guān)鍵是判斷出自變量所屬的范圍．