Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中點(diǎn)，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$． 
（1）求證：CD⊥平面PAC；
（2）如果如果N是棱AB上一點(diǎn)，且直線CN與平面MAB所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，求$\frac{AN}{NB}$的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，由勾股定理得AB⊥AC，從而AC⊥CD，由線面垂直得PA⊥CD，由此能證明CD⊥平面PAC．
（2）以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由直線CN與平面MAB所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，利用向量法能求出$\frac{AN}{NB}$的值．

解答 （1）證明：連結(jié)AC．因?yàn)樵凇鰽BC中，AB=AC=2，$BC=2\sqrt{2}$，
所以AB²+AC²=BC²，所以AB⊥AC．
因?yàn)锳B∥CD，所以AC⊥CD．
又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．
因?yàn)锳C∩PA=A，
所以CD⊥平面PAC．（4分）
（2）解：如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，2，0），因?yàn)镸是棱PD的中點(diǎn)，所以M（-1，1，1）．
所以$\overrightarrow{AM}=（-1，1，1），\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$，
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面MAB的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-x+y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x=0}\end{array}\right.$，
令y=1，得平面MAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
因?yàn)镹是在棱AB上一點(diǎn)，所以設(shè)N（x，0，0），$\overrightarrow{NC}$=（-x，2，0）．
因?yàn)橹本�CN與平面MAB所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
設(shè)直線CN與平面MAB所成角為α，
 
則sinα=|cos＜$\overrightarrow{NC}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{NC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{NC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
解得x=1，即AN=1，NB=1，所以$\frac{AN}{NB}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向面垂直的證明，考查滿足條件的線段的比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．