Question

2．求函數(shù)y=（log₂x）²+log${\;}_{\frac{1}{8}}$x³-2，x∈（$\frac{1}{4}$，2）的值域．

Answer 1

分析 化簡原函數(shù)解析式得到y(tǒng)=$（lo{g}_{2}x）^{2}-lo{g}_{2}x-2$，可令log₂x=t，由x的范圍可得到t的范圍（-2，1），并得到y(tǒng)=t²-t-2，從而求該二次函數(shù)在區(qū)間（-2，1）上的值域即可．

解答 y=$（lo{g}_{2}x）^{2}+lo{g}_{\frac{1}{8}}{x}^{3}-2$=$（lo{g}_{2}x）^{2}-lo{g}_{2}x-2$；
令log₂x=t，t∈（-2，1）；
∴$y={t}^{2}-t-2=（t-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}≥-\frac{9}{4}$；
又t=-2時，y=4；t=1時，y=-2；
∴$-\frac{9}{4}≤y＜4$；
∴原函數(shù)的值域為[$-\frac{9}{4}，4$）．

點評 考查函數(shù)值域的概念，對數(shù)的換底公式，對數(shù)函數(shù)的單調性，以及用換元的方法求函數(shù)的值域，掌握二次函數(shù)值域的求法．