Question

14．在半徑為r的半圓內(nèi)作一內(nèi)接梯形，使其底為直徑，其他三邊為圓的弦，則梯形面積最大時(shí)，其上底長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\frac{r}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$r
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$r
• D． r

Answer 1

分析 假設(shè)梯形的上底長(zhǎng)，將高用上底表示，從而表示出面積，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．

解答 解：設(shè)梯形的上底長(zhǎng)為2x，高為h，面積為S，
∵h(yuǎn)=$\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}$，
∴S=（r+x）•$\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}$，
S′=$\frac{（r-2x）（r+x）}{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}$，
令S′=0，得x=$\frac{r}{2}$，（x=-r舍），
則h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r．
當(dāng)x∈（0，$\frac{r}{2}$）時(shí)，S′＞0；當(dāng)x∈（$\frac{r}{2}$，r）時(shí)，S′＜0．
∴當(dāng)x=$\frac{r}{2}$時(shí)，S取極大值．
∴當(dāng)梯形的上底長(zhǎng)為r時(shí)，它的面積最大．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問題情境”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ふ疫m當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實(shí)際問題中加以說明．