Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過(guò)點(diǎn)R（-1，0）的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$．（1）當(dāng)直線l的傾斜角為60°時(shí)，求三角形OPQ的面積；
（2）當(dāng)三角形OPQ的面積最大時(shí)，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和直線方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$，確定P，Q坐標(biāo)之間的關(guān)系，表示出面積，利用基本不等式求出S_△OPQ的最大值，即可得到橢圓的方程．

解答 解：（1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得c=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
直線l：y=$\sqrt{3}$（x+1）代入橢圓方程可得（b²+3a²）x²+6a²x+3a²-a²b²=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{6{a}^{2}}{^{2}+3{a}^{2}}$=-$\frac{9}{5}$，x₂x₁=$\frac{3{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}+3{a}^{2}}$=$\frac{9-{a}^{2}}{10}$，
由$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$，可得-1-x₁=2（x₂+1），
解方程可得x₁=-$\frac{3}{5}$，x₂=-$\frac{6}{5}$，
即有|y₁-y₂|=$\sqrt{3}$|x₁-x₂|=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
三角形OPQ的面積為S=$\frac{1}{2}$|OR|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3\sqrt{3}}{5}$=$\frac{3\sqrt{3}}{10}$；
（2）由（1）知，3b²=a²，∴橢圓的方程為x²+3y²=3b²，①
顯然，直線l的斜率不為0；
若直線l與x軸垂直，此時(shí)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱，不滿足$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$；
因此，可設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）②，
將②代入①中整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-3b²=0，
因?yàn)橹本�l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，所以△=12（3k²b²-k²+b²）＞0，③
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$④，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3^{2}}{1+3{k}^{2}}$⑤
由$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$，
得（-x₁-1，-y₁）=2（1+x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-{x}_{1}=2（1+{x}_{2}）}\\{-{y}_{1}=2{y}_{2}}\end{array}\right.$⑥
由④⑥得x₁=$\frac{3-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₂=-$\frac{3+3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$⑦
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$|k||x₁-x₂|=$\frac{3|k|}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3}{3|k|+\frac{1}{|k|}}$
≤$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$當(dāng)且僅當(dāng)3|k|=$\frac{1}{|k|}$，即k²=$\frac{1}{3}$時(shí)，等號(hào)成立．
∴k²=$\frac{1}{3}$時(shí)，S_△OPQ取得最大值．
由⑦求得x₁=1，x₂=-2，代入⑤，求得b²=$\frac{5}{3}$，滿足③．
故所求橢圓的方程為x²+3y²=5，即$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{3y}^{2}}{5}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用直線和橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，考查三角形的面積及最大值，注意運(yùn)用基本不等式，屬于中檔題．